שמוליק קוזוקין תוצר מחלקת הנוער של בית"ר ירושלים. בגיל 4 עלה לישראל ביחד עם משפחתו, אך רק בגיל 14 הצטרף למחלקת הכדורגל של בית"ר ירושלים ועשה את צעדיו הראשונים במועדון. בגיל 16 וחצי סומנה נקודת המפנה הראשונה בקריירה של השחקן. בעונת 2005-2004 הגיעה קבוצת הנוער אותה אימן אז מיקי סנדרוב למעמד חצי גמר גביע המדינה בו פגשה בית"ר ירושלים את בני יהודה. עד למשחק זה היה קוזוקין עוד שחקן בקבוצת מרכז טבלה אך סמוך לסיום המחצית כבש השחקן שער מרהיב מ-40 מטרים, שער שהקנה לו זימון לנבחרת הנוער למרות העובדה שבית"ר ירושלים הפסידה באותו משחק 2-3. בתחילת אותה עונה אגב ערך השחקן את הופעת הבכורה במדי המועדון כשפתח בהרכב במשחק גביע הטוטו מול הפועל חיפה וזאת בעקבות אי אישור תקציב הקבוצה הבוגרת מה שגרם לכל קבוצת הנוער לפתוח בהרכב.

בעונת 2006-2005 תופקד קוזוקין כבלם תחת הדרכתו של אילן שוקרון והפעם הצליח להגיע לגמר גביע המדינה לנוער ואף לזכות בו – לראשונה בהיסטוריה של קבוצת הנוער.
בפתיחת עונת 2007-2006 אחרי שסיים שנתיים בקבוצת הנוער, עבר קוזוקין להכח ר"ג, אך לאחר שמפקדיו בצבא לא אפשרו לו להגיע באופן סדיר לאימונים, החליט השחקן לחזור לקדנציה שנייה בקבוצת הנוער. תחת הדרכתו של גיא עזורי פרח קוזוקין שהוסט לעמדת המגן, אחרי עונה יוצאת מן הכלל שבה אף נבחר לשחקן העונה – הוביל קוזוקין את חבריו בנוער לזכייה בדאבל היסטורי, מה שהקנה לו בתום אותה עונה את המקום בסגל הבוגרים.

עונת 2007-2008 הייתה עונת הפריצה של השחקן. יצחק שום שמונה למאמן בית"ר ירושלים וצירף אליו את סרגיי טרטיאק כעוזר המאמן, הפך את קוזוקין לשחקן קבוע בסגל הקבוצה ובחצי העונה הראשונה הפך השחקן הצעיר ללהיט של הליגה. הדבר לא נעלם מעיניו של דרור קשטן שזימן את המגן לנבחרת הבוגרת בה רשם שלוש הופעות. בעונתו הראשונה בקבוצה הבוגרת צבר קוזוקין 5 הופעות במסגרת הליגה והיה שותף לזכייה בדאבל נוסף – הפעם עם הקבוצה הבוגרת.

בעונת 2009-2008 מומש הפוטנציאל וקוזוקין הפך לשחקן הרכב בחלק משלבי העונה. תחת המאמן ראובן עטר צבר המגן 18 הופעות בליגה בהם אף כבש את שער הבכורה שלו במדי הקבוצה הבוגרת.
בפתיחת עונת 2009-2010 חזר לאמן את הקבוצה המאמן יצחק שום ועבור קוזוקין הייתה זאת הזדמנות להוכיח את עצמו אצל המאמן שנתן לו את הבמה לראשונה בקבוצה הבוגרת. 6 משחקים הספיק השחקן לשחק במסגרת הליגה, אבל באמצע חודש אוקטובר קרע השחקן את הרצועות וסיים את העונה. השחקן שנפצע פציעה זהה לזאת שסבל ממנה עונה קודם לכן תומר בן יוסף, עבר ניתוח ושיקום שארכו למעלה מ-7 חודשים.